哈利波特的魔法透镜

发布时间:2020-06-25 已收录 阅读:829次

虽然哈利波特的隐形斗蓬令人欣羡,但是小说家的想像力常常是领先科学家一截,所以如果我告诉你科学家直到今天仍然无法在隐形斗蓬的研究上取得令人满意的进展,我猜你可能也不会很失望。但是,没有突破性进展是一回事,这可不代表就没有人想得出妙点子来!于 2014 年,Rochester 大学的光学家 Howell 教授和他的研究生 Choi 利用简单的透镜组合,示範了如何以非常低成本在自家完成(一如你我的)穷苦人家的隐身梦想!

在介绍他们的发明之前,我们先把此中最重要的概念点出来:图一中的苹果 $$A$$ 所发射出的光线会经由凸透镜折射而形成一个虚像,此虚像的光线似乎是从 $$B$$ 处所发出。此时若将另一个(蓝色)物体插入图一中,使它看似挡住了来自 $$B$$ 的「虚光线」,但实际上完全没有碰触到真实光线所行经的位置(米黄色区域),则人们自然无法经由透镜去看到插入的物体(因为只会看到虚像),于是隐形斗篷就奏效了。把这个想法修改一下,你可以直接利用身边的物品去做个隐形斗篷、变个小魔术!(请下载观看示範影片 Cloaking Demo-Compressed.avi;档案稍大,有7MB)

哈利波特的魔法透镜

图一

当然,上述想法其实并未真正达到隐身的要求,原因是我们透过透镜所看到的虚像要嘛就是被放大了、要嘛则是左右或上下颠倒了,所以看到虚像的人立刻会警觉到必然有人在中间做了手脚。

那要如何改进呢?在继续讨论之前,先做一点暖身操。在中学的物理课中我们都学过:一束平行光进入薄的凸透镜后会在透镜的焦平面上聚焦成像(图 2,光束自右边射入,聚焦在 $$B$$ 点)。此外,通过透镜中心的任何光线(例如图中的 $$AB$$)都不会被透镜所偏折。所以,如果我们把焦距分别是 $$f_1$$ 以及 $$f_2$$ 的两个薄透镜平行摆放在一起,使它们之间的距离为 $$f_1+f_2$$(所以它们有共同的焦点和焦平面),接着以一束平行光斜向自透镜 1 入射,则从透镜 2 射出来的光线仍然会是平行光,只是它倾斜的角度改变了:除了角度的数值不同之外,你也会注意到原来往下方射入的光束现在却变成往上方射出(图2)。

哈利波特的魔法透镜

图二

可以想见的,如果我们取来两套相同的这种双透镜组,让它们反向面对,然后重新做实验,从第一个透镜组射入一道平行光束,接着再让射出来的光束通过第二个透镜组,则最后射出来的不但仍然是平行光,而且这一回角度完全没有改变。不仅如此,我们还可注意到:这个结果和两组透镜间的距离 $$L$$ 也完全无关(图3)。

哈利波特的魔法透镜

图三

这幺大费周章,最后射出来的光线连倾斜角度都没有改变、似乎只做了虚功,其目的何在?原来关键在透镜组间的距离 $$L$$!从图 3 中你一定注意到了:虽然调整 $$L$$ 完全不会改变射出光线的角度,但是却会影响标示为粗线的那道光线在透镜上的高低位置。

更明确地说,$$L$$ 越长,则 $$C’$$ 的位置越高,于是 $$A’$$ 的位置就越低。如果我们适当地调整 $$L$$ 值,使得 $$A’$$ 的位置刚好落在 $$ABC$$ 的延长线上,则对于透镜组左方的观察者来说,这整个透镜组似乎没有对原始光线动到任何手脚!可是我们明明知道,这光线在透镜之间传播时其实曾经被聚集在一起过(例如在两个焦平面附近,光线其实是收拢在一起的),因此,将一个物体插入这些区域,但牢记不要去遮蔽到真实光线的轨迹,则物体对观察者来说就被遮掩住,于是隐形斗蓬的效果就发挥出来了。经过简单的计算可以发现(参见附录),这个适当的 $$L$$ 值为:

$$\displaystyle L=2f_2\frac{(f_1+f_2)}{f_1-f_2}$$

虽然这个隐身术看起来很低科技,但是想一想,能够从最简单的物理现象中发掘出别人硬是没有料到的奇招,这其实也是科学研究的乐趣所在。更何况,这样一个隐身术不纯粹只是具有娱乐效果而已。根据 Howell 教授的说法,未来我们说不定可以利用这种想法去发明出一种不会被手以及器械挡住视线的手术专用观视镜哩(换言之,手以及器械都被隐身了)!

附录:(魔法透镜的简单数学推导)

两组透镜间的距离 $$L$$ 要取什幺数值才可以达到隐形的目标呢?以下利用简单的几何学进行推导。

哈利波特的魔法透镜

图四

假设入射光线的倾斜角度 $$\theta$$ 并不大,则从透镜2射出来的光线之倾斜角度 $$\theta_2$$ 可以透过下式来求得(参见图4中的三角形 $$AFB$$ 及 $$DFB$$):

$$\begin{array}{l}\overline{FA}\cdot \theta=\overline{FB}=\overline{FD}\cdot \theta_2\\ \Rightarrow f_1\theta=\overline{FB}=f_2\theta_2\Rightarrow \theta_2=\frac{f_1}{f_2}\theta\end{array}~~~~~~~~~(1)$$

此外,$$\overline{DC}=(f_1+f_2)\theta$$

亦即 $$C$$ 点的纵座标为 $$y_c=-(f_1+f_2)\theta$$。(负号是因为它在横轴下方)
进一步,可以看出 $$C’$$ 点的纵座标为

$$y_{C’}=L\theta_2-\overline{CD}=L\frac{f_1}{f_2}\theta-(f_1+f_2)\theta~~~~~~~~~(2)$$式

若将 $$C’B’$$ 的倾斜角记成 $$\theta_3$$(图4并未示出),则

$$\theta_3=\frac{\overline{B’F’}-y_{C’}}{f_2}=\frac{f_2\theta_2-y_{C’}}{f_2}~~~~~~~~~(3)$$式

所以 $$A’$$ 点的纵座标为  $$y_{A’}=y_{C’}+(f_1+f_2)\theta_3~~~~~~~~~(4)$$式

把 $$(3)$$式、$$(2)$$式、和 $$(1)$$式的结果代入 $$(4)$$式,整理之后可得:

$$y_{A’}=\theta\frac{f_1}{f_2}[2(f_1+f_2)-\frac{f_1}{f_2}L]~~~~~~~~~(5)$$式

如果我们要求 $$A’$$ 点刚好落在 $$ABC$$ 的延长线上,则必定

$$y_{A’}=-\theta\{(f_1+f_2)+L+(f_1+f_2)\}~~~~~~~~~(6)$$式

令 $$(5)$$式 和 $$(6)$$式 相等,于是便可推导出

$$\displaystyle L=2f_2\frac{f_1+f_2}{f_1-f_2}$$

当然,你也可以利用中学物理学过的物距以及像距的公式

$$(1/$$物距$$)+(1/$$像距$$)=1/$$焦距

来推导出以上的结果。限于篇幅,我们就不在此赘述。


参考文献